Cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng chuẩn nhất

Cách chứng minh trung điểm là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán trung học cơ sở. Cụ thể về trung điểm là gì, cũng như cách để chứng minh trung điểm như thế nào sẽ được chúng tôi bật mí ngay sau đây!

Trung điểm là gì?

Trung điểm chính là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng, chia đoạn thẳng ra làm hai đoạn với độ dài bằng nhau.

Ví dụ: Ta có đoạn thẳng AB với điểm C được nằm trên AB và AC = CB. Lúc này, C chính là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Các cách chứng minh trung điểm chi tiết nhất

Cách chứng minh trung điểm dựa trên định nghĩa

Cách chứng minh trung điểm của đoạn thẳng AB là M, yêu cầu chúng ta cần phải chứng minh cùng lúc ấy M nằm giữa A, B và MA + MB.

Ví dụ cụ thể: Cho đoạn thẳng AB = 8cm, trong đó có M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên AB, ta lấy hai điểm C, D sao cho AC=BD=3cm. Yêu cầu chứng minh M là trung điểm CD.

Hướng dẫn giải:

Ta có M là trung điểm của AB

Suy ra, MA = MB = ½ AB = 8 : 2 = 4 cm

MC cùng phía với A, mà AM > AC, vì thế C nằm giữa AM

⇒ AC + CM = AM

⇒ CM = AM – AC = 4-3=1 cm (1)

Chứng minh tương tự, ta có MD cũng bằng 1 cm ( 2 )

Mà: CD = AB – AC + BD = 2cm ( 3 )

Từ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ), ta có:

MC = MD = 1

MC + MD = CD

⇒ M chính là trung điểm của CD.

Chứng minh dựa trên các tính chất của tam giác

Với cách này, để chứng minh trung điểm chúng ta cần phải dựa trên các tính chất của tam giác. Do đó, trước hết ta cần phải hiểu hết được tính chất của tam giác là gì.

Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của: BC, CA, AB. Khi đó:

AM, BN, CP được gọi là các đường trung tuyến của cạnh BC, CA, AB. 3 đường trung tuyến được đồng quy tại G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

3 đoạn thẳng MN,NP,PM được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.

Đường trung bình tam giác: Nếu MN là đường trung bình của tam giác ABC, thì MN song song, bằng 1/2 cạnh đáy tương ứng.

Ví dụ cụ thể: 

Cho tam giác ABC, có AB > BC. Trong đó, BE là phân giác và BD là trung tuyến. Đường thẳng đi qua C được vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G , K. DF cắt BC tại M. Yêu cầu chứng minh rằng M là trung điểm đoạn BC.

Hướng dẫn giải:

Xét Δ BCK ta có :

BF ⊥ CK ( gt )

BE là phân giác góc B 

⇒ BF cũng là phân giác góc B

⇒ BF vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác BCK 

⇒ Δ BCK cân tại B

⇒ BC = BK

Với BF là đường trung tuyến

CF = FK

Xét ΔCKA, ta có :

CF = FK ( cmt )

CD = DA (đường trung bình ABC)

⇒ FD / / BA MD / / BA

Mà CD = DA nên ⇒ M là trung điểm của BC.

Cách chứng minh dựa trên tính chất tứ giác đặc biệt

Để có thể chứng minh được trung điểm trong tứ giác, yêu cầu ta cần phải nắm được một vài tính chất trung điểm của các tứ giác đặc biệt như sau:

• Đường trung bình trong hình thang song song 2 đáy và dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.
• Hình bình hành với 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Với hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi thì đây là các trường hợp đặc biệt của hình bình hành. Vì thế chúng có tính chất tương tự như đối với hình bình hành.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, có I là giao điểm của AC, BD. Lấy M là điểm bất kì được nằm trên CD. MI cắt AB tại N. Yêu cầu chứng minh rằng I là trung điểm của MN.

Lời giải :

Vì ABCD là hình bình hành, mà I là giao điểm của hai đường chéo, ta có:

DI = MI

Xét ΔDIM và ΔBIN có :

DI = BI (chứng minh trên)

⇒ ΔDIM = ΔBIN ( g. c. g )

Vậy ta có: IN = IM hay I là trung điểm của MN. 

Hướng dẫn chứng minh dựa vào các tính chất của đường tròn

Để thực hiện chứng minh trung điểm ta dựa vào quan hệ giữa đường kính và dây cung trong đường tròn.

Cho đường tròn với tâm O, đường kính AB. MN chính là một dây cung bất kì của đường tròn. Nếu như AB cắt MN, AB đi qua trung điểm của MN và ngược lại. Còn nếu AB đi qua trung điểm của MN, thì AB cắt MN.

Ví dụ bài tập trung điểm liên quan đến đường tròn: Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC và nội tiếp đường tròn O. Tiếp tuyến tại A và B của (O) được cắt nhau tại M. 

Kẻ cát tuyến MPQ của (O). P được nằm giữa M và Q, song song với BC và cắt AC tại E. Yêu cầu chứng minh rằng E là trung điểm PQ

Hướng dẫn giải:

Vì MA, MB là các tiếp tuyến được kẻ từ M của đường tròn (O) 

⇒ MA = MB

Xét ΔMAO và ΔMBO có:

MA = MB (chứng minh trên)

MO là cạnh chung

OA=OB (nửa đường kính (O))

⇒ ΔMAO = ΔMBO ( c. c. c )

⇒ EO vuông góc với dây cung PQ

⇒ E là trung điểm PQ.

Hướng dẫn chứng minh dựa vào tính chất đối xứng trục

Với cách chứng minh này ta có: Hai điểm A,B đối xứng với nhau thông qua đường thẳng d. Nếu d là đường trung trực của AB, ta có AB cắt d, d đi qua trung điểm của AB.

Xem thêm >>> Công thức tính vận tốc quãng đường thời gian – Bài tập vận dụng

Hướng dẫn chứng minh trung điểm theo tính chất đối xứng tâm

Với phương pháp này ta có: Hai điểm A, B đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của AB.

Hy vọng với những cách chứng minh trung điểm mà chúng tôi mang tới cho bạn đọc hôm nay sẽ thật sự hữu ích đối với bạn đọc. Bạn đọc hãy nhanh tay nhấn theo dõi Maychasandon.com của chúng tôi để có thể liên tục cập nhật những thông tin hữu ích nhất cho mình nhé!